2020大阪大学 物理第3問 断熱変化・光の干渉

設問A

問1

状態Aにおける体積を\(V_0\)とする。Aにおける状態方程式は$$p_0V_0=RT_0$$ Bにおける状態方程式は$$p_0\cdot \frac{V_0}{2}=RT_B$$ よって$$T_B=\frac{1}{2}T_0$$

問2

気体がする仕事を\(W=p\Delta V\)とする。熱力学第1法則より、$$\begin{align} Q_1&=W+\Delta U\\ &=-p_0\cdot\frac{V_0}{2}+\frac{3}{2}R(T_B-T_0)\\&=-\frac{1}{2}RT_0-\frac{3}{4}RT_0\\&=-\frac{5}{4}RT_0 \end{align}$$

問3

断熱変化なので、$$p_0\left(\frac{V_0}{2}\right)^\gamma=\alpha p_0V_C^\gamma$$

解いて$$V_C=\alpha^{-\frac{1}{\gamma}}\cdot\frac{V_0}{2}$$

また、状態方程式より$$\alpha p_0V_C=RT_C$$

が成り立つ。これに\(T_C\)を代入して$$\begin{align} T_C&=\alpha p_0\frac{V_0}{2}\cdot \alpha^{-\frac{1}{\gamma}}\cdot\frac{1}{r}\\ &=\frac{1}{2}\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}T_0 \end{align}$$

問4

\(z=z_0\)のときを考えると、$$V_D=\frac{z_D}{L}V_0$$

状態Dから状態Aは断熱変化なので、$$\alpha p_0\left(\frac{Z_D}{L}V_0\right)^\gamma=p_0V_0^\gamma$$ 解いて$$z_D=\alpha^{-\frac{1}{\gamma}}L$$

問5

状態方程式より$$\alpha p_0\cdot\frac{z_D}{L}V_0=R T_D$$ 解いて$$T_D=\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}T_0$$

熱力学第一法則より、$$\begin{align} Q_2&=\alpha p_0\Delta V+\frac{3}{2}R\Delta T \\ &=\alpha p_0\left(\frac{z_0}{L}-\frac{\alpha^{-\frac{1}{\gamma}}}{2}\right)V_0+\frac{3}{2}R\left(\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}-\frac{1}{2}\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}\right)T_0 \\ &=\alpha\frac{\alpha^{-\frac{1}{\gamma}}}{2}p_0V_0+\frac{3}{4}RT_0\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}\\ &=\frac{5}{4}\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}RT_0 \end{align}$$

問6

AからBまでにした仕事は問2で計算している。$$W_{AB}=-\frac{1}{2}RT_0$$

BからCまでにした仕事は断熱変化なので$$\begin{align} W_{BC}&=-\Delta U\\ &=-\frac{3}{2}R(T_C-T_B)\\&=-\frac{3}{2}R\left(\frac{a^{1-\frac{1}{\gamma}}}{2}-\frac{1}{2}\right)T_0\\&=-\frac{3}{4}R(\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}-1)T_0 \end{align}$$

CからDまでにした仕事は定圧変化。問4より$$V_D=\alpha^{-\frac{1}{\gamma}}V_0$$ なので、$$\begin{align} W_{CD}&=\alpha p_0(V_D-V_C)\\&=\frac{1}{2}\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}RT_0 \end{align}$$

DからAまでにした仕事は断熱変化なので$$ \begin{align} W_{DA}&=-\Delta U\\ &=-\frac{3}{2}R(T_A-T_D)\\ &=-\frac{3}{2}R(1-\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}})T_0 \end{align}$$

加えられた熱は\(Q_2\)なので\(RT_0\)は約分して、$$\begin{align} e&=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}(\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}-1)+\frac{1}{2}\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}-\frac{3}{2}(1-\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}})}{\frac{5}{4}\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}} \\&=\frac{-5+5\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}}{5\alpha^{1-\frac{1}{\gamma}}} \\ &=1-\alpha^{\frac{1}{\gamma}-1} \end{align}$$

問7

$$1-\alpha^{\frac{3}{5}-1}\geq \frac{1}{2}$$ $$\alpha^\frac{2}{5}\geq 2$$ $$\alpha \geq 2^\frac{5}{2}=4\sqrt{2}$$

設問B

問8

\(x=0\)に入射する波面と\(x=x\)に入射する波面は図のようになる。

光路差は\(x\sin{\theta}\)なので、求める光路は$$\ell-x\sin{\theta}$$

問9

問8より光路差は\(x\sin{\theta}\)なので、干渉縞の感覚を\(\Delta x\)とすると、$$\Delta x\cdot \sin{\theta}=\lambda$$ $$\Delta x=\frac{\lambda}{\sin{\theta}}$$

問10

鏡Mを移動させる前後で光路は\(2D\)変化するから、波面は図のようになり、\(\Delta x_1\)は正の値である。

$$\Delta x_1\sin{\theta}=2D$$であるから、$$\Delta x_1=\frac{2D}{\sin{\theta}}$$

問11

光路は\(2\alpha L\)伸びるので、問10において\(2D\)を\(2\alpha L\)で置き換えて$$\Delta x_2=\frac{2\alpha L}{\sin{\theta}}$$

問12

光路差\(x\sin{\theta}\)から、\(E_x\)の位相は\(E_y\)に比べて\(2\pi\frac{x\sin{\theta}}{\lambda}\)進んでいる。

ゆえに、三角関数の和から積の公式を用いて$$\begin{align} E_X+E_Y&=E_0\left(\sin\left(\omega t+\frac{2\pi x\sin{\theta}}{\lambda}\right)+\sin{\omega t}\right) \\ &=2E_0\sin\left(\omega t+\frac{\pi x\sin{\theta}}{\lambda}\right)\cos\frac{\pi x\sin{\theta}}{\lambda}\\ (E_X+E_Y)^2 &=4E_0^2 \sin^2\left(\omega t+\frac{\pi x\sin{\theta}}{\lambda}\right)\cos^2\frac{\pi x\sin{\theta}}{\lambda} \end{align}$$

よって$$\begin{align} I(x)&=4E_0^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos^2\frac{\pi x\sin{\theta}}{\lambda} \\ &=2E_0^2\cos^2\frac{\pi x\sin{\theta}}{\lambda} \end{align}$$

コメント

熱力学・波動と独立した2つの問題があるだけに分量が多い。しかし、物理の問題全体でみると丁度良いぐらいか。

熱力学は、やるべきことはサイクルのよくある話。ポアソンの式を使って計算するので、指数が付いて回って計算が面倒。

波動は前振りが仰々しい。実際は問11まではただの干渉の問題なのでビビらないように。

全体を見ると、できる人からすると簡単すぎない?と言われそうだが、勉強の成果がしっかり出て差がつく。これで「物理で失敗した」っていう言い訳はない。出来てないなら完全に実力不足。

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