2020東京大学 物理第1問 中心力場での運動

設問I

$$\vec{r^\prime}=(x+v_x\Delta t, \, y+v_y\Delta t)$$ $$\vec{v^\prime}=(v_x+a_x\Delta t, \, v_y+a_y\Delta t)$$

これらを用いて$$\begin{align}\Delta A_v&=\frac{1}{2}\{(x+v_x\Delta t)(v_y+a_y\Delta t)-(y+v_y\Delta t)(v_x+a_x\Delta t)\}-\frac{1}{2}(xv_y-yv_x) \\ &\sim\frac{1}{2}\{(xv_y+v_xv_y\Delta t+xa_y\Delta t)-(yv_x+v_yv_x\Delta t+ya_x\Delta t)-(xv_y-yv_x)\}\\&=\frac{1}{2}(xa_y-ya_x)\Delta t\end{align}$$

⑴より\(xa_y-ya_x=0\) なので$$a_x=\frac{x}{y}a_y$$

運動方程式より$$m\vec{a}=\vec{F}$$ベクトルの成分を表すと$$(m\frac{x}{y}a_x, ma_y)=(F_x, F_y)$$

\(a_y\)を 消去して$$F_x=\frac{x}{y}F_y$$

⑵の結果より、\(\vec{F}\)の方向ベクトルは\((x, y)\)。位置ベクトル\(\vec{r}\)と同じ方向。

問題の条件より、円軌道を描くので、速度ベクトルは常に位置ベクトルと垂直。よって、\(\vec{F}\)と\(\Delta \vec{r}\)の内積は常に0。仕事は常に0。

AからBまでとAからCまでの仕事は同じ。

設問II

言われるままにエネルギーの差を計算する。

$$\begin{align} \frac{m}{2}v^2-\frac{1}{2}mv_r^2&= \frac{m}{2}\left\{v_x^2+v_y^2-\frac{x^2v_x^2+2xyv_xv_y+y^2v_y^2}{r^2}\right\} \\&= \frac{m}{2r^2}\{(x^2+y^2)(v_x^2+v_y^2)-(x^2v_x^2+2xyv_x vv_y+y^2v_y^2)\} \\ &= \frac{m}{2r^2}(xv_y-yv_x)^2\\&=\frac{2mA_v^2}{r^2}\end{align}$$

力学的エネルギーは⑴より $$\begin{align} K+U &=K_r+\frac{2mA_0^2}{r^2}+U\\ &=\frac{1}{2}mv_r^2+\frac{2mA_0^2}{r^2}-\frac{GmM}{r} \end{align}$$

速度に依存するのは第1項だけなので、速度は第1項が最小になるように決まる。このとき\(v_r=0\)。\(v_r\)は距離\(r\)の時間変化なので、距離が変化しないことを意味する。すなわち等速円運動。

等速円運動とすると、運動方程式より$$m\frac{v^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}$$ 整理して$$v^2=\frac{GM}{r}$$

さて、\(v_r=0\)であるので$$K=\frac{2mA_0^2}{r^2}$$ となるから、$$\frac{1}{2}mv^2=\frac{2mA_0^2}{r^2}$$ 上の\(v^2\)の値を代入して$$\frac{m}{2}\frac{GM}{r}=\frac{2mA_0^2}{r^2}$$ 整理して$$r=\frac{4A_0^2}{GM}$$

力学的エネルギーは\(r\)の値を代入して$$\begin{align} K+U&= \frac{G^2mM^2}{8A_0^2}-\frac{G^2mM^2}{4A_0^2}\\&=-\frac{G^2mM^2}{8A_0^2}\end{align}$$

設問III

円運動するので運動方程式より$$\frac{mv^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}$$ $$v^2=\frac{GM}{r}$$

また、量子条件とド・ブロイ波長から$$2\pi r=\frac{nh}{mv}$$ $$v=\frac{nh}{2\pi rm}$$

運動方程式と合わせて\(v\)を消去して$$\frac{n^2h^2}{4\pi^2r^2m^2}=\frac{GM}{r}$$ 解いて $$r=\frac{n^2h^2}{4\pi^2m^2GM}$$この半径が\(r_n\)

⑴に値を放り込むだけ。

$$10^{22}=(10^{34})^2\cdot\frac{1}{10^{-10}\cdot10^{42}m^2}$$

解いて$$m\sim10^{-61}$$

コメント

設問I、IIIは易しい。事実上問題は設問IIだけ。⑴はともかく、⑵でエネルギーの最小値を求めるのは、\(r, v_r\)の2変数があるなかで、まず\(v_r\)が決定できることに気付かなければならないので、できてない人も多そう。

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