2020京都大学 物理第3問 気体分子運動論

あ)

$$\left\{\begin{array}{ll} w(0-t_1)=(L-L_1)\\ v(0-t_1)=L_1 \end{array}\right.$$

\(t_1\)を消去して$$w\frac{L_1}{v}=L-L_1$$ $$L_1=\frac{v}{v+w}L$$

い)

$$\left\{\begin{array}{ll} wt_2=(L_2-L)\\ vt_2=L_2 \end{array}\right.$$

\(t_2\)を消去して $$w\frac{L_2}{v}=L_2-L$$ $$L_2=\frac{v}{v-w}L$$

う)

$$T_{12}=t_2-t_1=\frac{L_2}{v}+\frac{L_1}{v}$$ あ)い)で求めた\(L_2, L_1\)を代入して$$\begin{align} T_{12}&=\frac{1}{v}\left(\frac{v}{v-w}+\frac{v}{v+w}\right)L\\ &=\left(\frac{1}{v-w}+\frac{1}{v+w}\right)L \end{align}$$

え)

問題文で与えられている近似を使う。

$$\begin{align} T_{12}&=\frac{L}{v}\left(\frac{1}{1-\frac{w}{v}}+\frac{1}{1+\frac{w}{v}}\right)\\ &\sim \frac{L}{v}\left(1+\frac{w}{v}+1-\frac{w}{v}\right)\\&=\frac{2L}{v}\end{align}$$

お)

運動量の変化は\(2mv\)なので$$-\bar{F_x}T_{12}=2mv$$

$$\begin{align} P&=\frac{\mid \bar{F_x} \mid}{L^2}\\ &=\frac{2mv}{L^2}\cdot \frac{1}{T_{12}}\\&=\frac{2mv}{L^2}\cdot\frac{v}{2L} \\ &=\frac{mv^2}{L^3}\end{align}$$

か)

弾性衝突なので、$$1=-\frac{w+v^\prime}{w-v}$$ 解いて$$v^\prime=v-2w$$ $$a=2$$

き)

あ)い)と同様にする。$$\left\{\begin{array}{ll} v^\prime(t_3-t_2)=L_2\\ w(t_3-t_2)=L_3-L_2 \end{array}\right.$$

\(t_3\)を消去して解くと$$L_3=\frac{v^\prime+w}{v^\prime}L_2$$

い)の\(L_2\)を代入して$$L_3=\frac{v^\prime+w}{v^\prime}\cdot\frac{v}{v-w}L$$

く)

問題文にあるように$$P^\prime=\frac{mv^{\prime 2}}{L_3^3}$$

よって、き)の結果を代入しつつ近似を用いて、$$\begin{align} \frac{\Delta P}{P}&=\frac{\frac{v^{\prime 2}}{L_3^3}-\frac{v^2}{L^3}}{\frac{v^2}{L^3}} \\ &=\frac{L^3}{L_3^3}\cdot \frac{v^{\prime 2}}{v^2}-1\\ &=\left(\frac{v^\prime}{v^\prime+w}\cdot\frac{v-w}{v}\right)^3\left(\frac{v-aw}{v}\right)^2-1\\ &=\left(1-\frac{w}{v^\prime+w}\right)^3\left(\frac{v-w}{v}\right)^3\left(\frac{v-aw}{v}\right)^2-1\\&=\left(1-\frac{w}{v-(a-1)w}\right)^3\left(1-\frac{w}{v}\right)^3\left(1-\frac{aw}{v}\right)^2-1 \\&=\left(1-\frac{\frac{w}{v}}{1-(a-1)\frac{w}{v}}\right)^3\left(1-\frac{w}{v}\right)^3\left(1-\frac{aw}{v}\right)^2-1 \\ &\sim 1+(-3-3-2a)\frac{w}{v}-1\\&=-2(a+3)\frac{w}{v} \end{align}$$

け)

く)と同様に近似計算。

$$\begin{align} \frac{\Delta V}{V}&=\left(\frac{L_3^3}{L^3}\right)-1\\&= \left(\frac{v^\prime+w}{v^\prime}\right)^3\left(\frac{v}{v-w}\right)^3-1\\ &=\left(1+\frac{w}{v^\prime}\right)^3\left(1-\frac{w}{v}\right)^{-3}-1\\&=\left(1+\frac{w}{v-2w}\right)^3\left(1-\frac{w}{v}\right)^{-3}-1\\&=\left(1+\frac{\frac{w}{v}}{1-\frac{2w}{v}}\right)^3\left(1-\frac{w}{v}\right)^{-3}-1\\&\sim 1+(3+3)\frac{w}{v}-1\\&=6\times\frac{w}{v}\end{align}$$

こ)

く)け)の結果を(iv)に代入して$$-2(a+3)\frac{w}{v}+6\gamma\frac{w}{v}=0$$ 解いて$$\gamma=1+\frac{a}{3}$$

さ)

状態方程式\(PV=nRT\)に変化後の値を代入して$$(P+\Delta P)(V+\Delta V)=nR(T+\Delta T)$$

展開して、\(PV=nRT\)を代入して$$P\Delta V+V\Delta P=nR\Delta T$$

両辺\(PV\)で割って$$\frac{\Delta V}{V}+\frac{\Delta P}{P}=\frac{\Delta T}{T}$$ $$\frac{\Delta V}{V}-\gamma\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta T}{T}$$ $$\frac{\Delta T}{T}+(\gamma-1)\frac{\Delta V}{V}=0$$

し)

$$\gamma=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$$

問1

問題文にあるように、二原子分子の方のエネルギーは並進運動の運動エネルギー\(\frac{1}{2}mv^2\)の\(\frac{5}{3}\)倍。よってエネルギー保存$$\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2}mv^2+\frac{M}{2}w^2=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2}mv^{\prime 2}+\frac{M}{2}w^{\prime 2}$$

運動量保存は$$mv+Mw=-mv^\prime+Mw^\prime$$ 整理して、$$\left\{\begin{array}{ll} 5mv^2+3Mw^2=5mv^{\prime 2}+3Mw^{\prime 2} \\ w^\prime=w+\frac{m}{M}(v+v^\prime) \end{array}\right.$$

エネルギーの方の式から$$5m(v+v^\prime)(v-v^\prime)=3M(w^\prime+w)(w^\prime-w)$$ 運動量保存の方の\(w^\prime\)を代入して$$5m(v+v^\prime)(v-v^\prime)=3M\frac{m}{M}(v+v^\prime\left(2w+\frac{m}{M}(v+v^\prime)\right)$$ $$5v-5v^\prime=6w+\frac{3m}{M}v+\frac{3m}{M}v^\prime$$ $$v^\prime=\frac{\left(5-\frac{3m}{M}\right)v-6w}{\left(5+\frac{3m}{M}\right)} $$

問2

\(\frac{m}{M}\to0\)の極限を取って、$$v^\prime=v-\frac{6}{5}w$$ $$a=\frac{6}{5}$$

こ)の式に代入して$$\gamma=1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$$

コメント

大問1、2と問題が長い長いと言ってきたら、大問3が最も長い・・・しかし設問は大問2と同様、またはそれ以上に何をすればいいのか書いてあるので近似計算をサクサクと進めれば完答も難しくない。近似計算には慣れておこう。個人的には大問3が最も簡単。

問1、問2は2原子分子の話になっている。このテの高校の範囲を超えた話題は大概極めて丁寧に、すべきことや使える式を指示してくれるので易しいことがほとんど。難しそうな話題が出てきたらそれは確実にチャンス。パスしないでしっかり設問を読もう。

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