2020京都大学物理 第1問 糸でつながれた小球の衝突

京大物理を見てまず思ったこと・・・問題文長すぎじゃない?設問も簡単ではないしなかなか厳しい

設問⑴

まず、釣り合いの位置を求める。小球2についての力の釣り合いの式から$$k(x_2-\ell)=mg$$ $$x_2=\ell+\frac{mg}{k}$$

ア)イ)

小球2の運動方程式は$$m\frac{d^2x_2}{dt^2}=mg-k(x_2-\ell)$$整理して$$\frac{d^2x_2}{dt^2}=-\frac{k}{m}\left(x_2-\ell-\frac{mg}{k}\right)$$

\(t=0\)で速度が0であるから、振幅を\(A\)として$$x_2=A\cos{\omega t}+\ell+\frac{mg}{k}, \quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

\(t=0\)で\(x_2=d+\ell+\frac{mg}{k}\)なので$$d+\ell+\frac{mg}{k}=A+\ell+\frac{mg}{k}$$ $$A=d$$

よって$$x_2=d\cos{\omega t}+\ell +\frac{mg}{k} \quad ({\rm i})$$

振動中心は$$\ell+\frac{mg}{k}$$

ウ)

小球1に対する力の釣り合いから$$T=mg+k(x_2-\ell)$$ 糸がたるむ瞬間には\(T=0\)なので $$x_2=-\frac{mg}{k}+\ell$$

エ)

(i)より$$-d+\ell+\frac{mg}{k} \leq x_2 \leq d+\ell+\frac{mg}{k}$$なので、ウ)より、たるむための条件は$$-d+\ell+\frac{mg}{k}<-\frac{mg}{k}+\ell$$解いて$$d>\frac{2mg}{k}$$

オ)

一応運動方程式を書いておく。$$\left\{\begin{array}{ll} m\frac{d^2x_1}{dt^2}=mg+k\{(x_2-x_1)-\ell\} \\ m\frac{d^2x_2}{dt^2}=mg-k\{(x_2-x_1)-\ell\} \end{array}\right.$$

運動方程式の辺々を加えて$$m\left(\frac{d^2x_1}{dt^2}+\frac{d^2x_2}{dt^2}\right)=2mg$$ $$\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=mg$$

問題文にあるように、重心の運動は鉛直投げ上げである。

さて、糸がたるみ始める時刻では\(x_2=-\frac{mg}{k}+\ell\)なので$$-\frac{mg}{k}+\ell=d\cos{\omega t}+\ell+\frac{mg}{k}$$ $$\cos{\omega t}=-\frac{2mg}{kd}$$

(i)を両辺時間で微分して$$v_2=-d\omega\sin{\omega t}$$

糸がたるむとき明らかに半周期も運動してないから$$\begin{align} \sin{\omega t}&=\sqrt{1-\cos^2{\omega t}} \\ &=\sqrt{1-\frac{4m^2g^2}{dk^2}}\end{align}$$

よって重心の速度は、\(v_1=0\)なので$$\begin{align} \frac{v_1+v_2}{2}&=-\frac{1}{2}d\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{1-\frac{4m^2g^2}{d^2k^2}}\\&=-\frac{d}{2}\sqrt{\frac{k}{m}\left(1-\frac{4m^2g^2}{d^2k^2}\right)}\end{align}$$

速さはこの絶対値。

カ)

運動方程式を辺々引いて $$m\left(\frac{d^2x_2}{dt^2}-\frac{d^2x_1}{dt^2}\right)=-2k\{(x_2-x_1)-\ell\}$$

\(x_2-x_1\) は振動中心\(\ell\)で角速度\(\omega^\prime=\sqrt{\frac{2k}{m}}\)で単振動する。

よって、周期は$$T=\frac{2\pi}{\omega^\prime}=\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}$$

キ)

小球1の速度の最小値は、速度の極値なので加速度がゼロ。小球1の運動方程式から$$0=mg+k((x_2-x_1)-\ell\}$$ $$x_2-x_1=\ell-\frac{mg}{k}$$

糸がたるみ始めた時刻\(T^\prime\)における相対座標は$$x_2-x_1=-\frac{mg}{k}+\ell-0=-\frac{mg}{k}$$ なので小球1の速度が最小のとき、相対座標は同じ。相対座標は単振動をしているので、時刻\(T^\prime\)における速度の反対方向。

ゆえに$$v_2-v_1=d\omega\sin{\omega t}$$

オ)の値の2倍である。

設問⑵

ク)

小球1の力の釣り合いより$$mg=kx_1$$ $$x_1=\frac{mg}{k}$$

ケ)

この問題以降何回か出てくる「糸がたるんでいる状態から張る」ときの処理。

糸の張力は内力であることと、問題文にある「エネルギーは保存する」ことから2体の弾性衝突と同値である。衝突前の速度を\(v_1, \, v_2\)、衝突後の速度を\(v_1^\prime, \, v_2^\prime\)とすると、運動量保存と反発係数から$$\left\{\begin{array}{ll} mv_1+mv_2=mv_1^\prime+mv_2^\prime \\ 1=-\frac{v_1^\prime-v_2^\prime}{v_1-v_2} \end{array}\right.$$ これを解くと $$v_1^\prime=v_2, \quad v_2^\prime=v_1$$ つまり速度が交換される。

よってケ)に入るのは0。また糸が張ったとき\(v_1=v\)

コ)

小球1の運動方程式は$$m\frac{d^2x_1}{dt^2}=mg-kx_1$$で、糸が張ったとき振動中心にいるので、$$x_1=A\sin{\omega t}, \quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$ となる。(\(t\)は糸が張ったときからの時間)

両辺時間で微分して $$v_1=\omega A\cos{\omega t}$$ \(t=0\)のとき\(v_1=v\)なので$$\omega A=v$$ $$A=\frac{v}{\omega}=v\sqrt{\frac{m}{k}}$$

サ)

エネルギー保存より、衝突直前の小球2の速さ\(v_2\)は$$\frac{m}{2}v^2=\frac{m}{2}v_2^2+mgL$$ $$v_2=\sqrt{v^2-2gL}$$

よって衝突直後の小球1の速さは $$v^\prime=\sqrt{v^2-2gL}$$

シ)

糸がたるんでいる状態から張るとき、衝突の直前で、小球は離れる方向に運動しなければならない。つまり$$v_2-v_1>0 ({\rm ii})$$

その後糸が張ると速度が交換するので、$$v_2^\prime=v_1, \,\, v_1^\prime=v_2$$ 張った後糸がたるまないためには、$$v_2^\prime=v_1^\prime$$

よって糸が張る前に$$v_1=v_2$$ これは(ii)を満たさない。

ゆえに、糸がたるんでいる状態から張るのではなく、「たるんでもない、張ってもない」状態でとどまっていると考えられる。このとき、糸のたるみがなくなる前後で$$v_1=v_2$$ よってシ)に入るのは0

ス)

問題文にある\(F=0\)を確認しておく。

時刻\(T\)の前では、小球は離れる方向に運動していて、ちょうど時刻\(T\)で\(v_1=v_2\)になるので、\(T\)の前では小球は正方向に加速している。ゆえに問題文にあるように\(F\geq 0\)。時刻\(T\)で\(F>0\)であれば小球は正方向に加速するので\(v_1>v_2\)となってしまうので糸はたるむ。

ゆえに\(F=0\)

したがって小球1の位置は自然長。$$x_1=0$$

セ)

衝突後から時刻\(T\)までの小球1のエネルギー保存と小球2のエネルギー保存をそれぞれ書く。時刻\(T\)における速度は小球1,2ともに\(V\)と表す。$$\left\{\begin{array}{ll}\frac{m}{2}v^{\prime 2}+\frac{k}{2}\left(\frac{mg}{k}\right)^2=\frac{m}{2} V^2+mg\frac{mg}{k}\\ 0=\frac{m}{2}V^2-mg\left(L-\frac{mg}{k}\right)\end{array}\right.$$

\(v^\prime\)にサ)の値を代入して解くと$$v^2=4gL-\frac{mg^2}{k}$$

設問 問1

時刻\(T^\prime\)まで・・・小球1は静止、小球2は鉛直投げ上げなので直線になる。

時刻\(T^\prime\)で速度が交換される。

時刻\(T\)まで・・・小球2は自由落下なので直線。小球1は単振動する。振動中心から初速が与えられるので\(-\cos{\omega t}\)の三角関数

時刻\(T\)で小球1と小球2の速度が一致。

感想

冒頭でも書いた通りなかなか厳しい。2020年の3問の内では最も難しいと思う。家に帰ってじっくり考えたら何とかなるような問題であるけれども、引っかかるポイントやつまる設問が複数あるので試験時間中に最後までこなすのは苦しい。

設問カ)まで、という人は結構いそう。まあク)は解くだろうけど。このレベルだとカ)までとク)でも十分合格はできる(もちろん他教科が悪くないなら)。が、京大受験生はトレーニングとして家で解くんだからしっかり最後まで追いかけよう。

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