2020岡山大学 物理第1問 斜方投射と衝突

ちょっとtexのテストがてら物理の解答作成。なぜ岡山大学なのかは簡単だから。各単元を習って、セミナー物理などの基本的な問題集を解いた後にやるといい練習になると思います。

斜方投射なので鉛直方向の座標は$$y=v\sin\theta \cdot t-\frac{1}{2}gt^2$$

\(y\)方向の速度は$$v_y=v\sin{\theta}-gt$$なので、最高点では\( v_y=0\) であり$$t=\frac{v\sin{\theta}}{g}$$よって$$T_1=\frac{v\sin{\theta}}{g}$$

また、衝突により\(y\)方向の速度は不変。斜方投射なので最高点まで上がるのにかかる時間と元の位置まで落ちる時間は同じ。よって$$T_2=T_1+\frac{v\sin{\theta}}{g}=\frac{2v\sin{\theta}}{g}$$

\(x\)方向の座標は$$x=v\cos{\theta}\cdot t$$ 壁に到達する時刻は\(T_1\)なので$$L=v\cos{\theta}\cdot T_1$$ $$\frac{v^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}=L$$といて$$v=\sqrt{\frac{gL}{\sin{\theta}\cos{\theta}}}$$

跳ね返った後の速度\(v_x^\prime\)は\(v_x^\prime=ev\cos{\theta}\)。壁から着地するまでの時間は\(\frac{v\sin{\theta}}{g}\) なので、$$ev\cos{\theta}\cdot\frac{v\sin\theta}{g}=L^\prime$$解いて$$L^\prime=\frac{ev^2\sin\theta\cos\theta}{g}=eL$$

壁に衝突するまでにかかる時間を\(t_1\)、衝突してから着地するまでにかかる時間を\(t_2\) とする。水平方向の速度\(v^\prime\cos\theta\) から$$t_1=\frac{L}{v^\prime\cos\theta}, \, t_2=\frac{L}{ev^\prime\cos\theta}$$

\(y\)方向の速度は衝突によって不変なので、投げてから落ちるまでの時間は先の状況と同じ。すなわち$$t_1+t_2=\frac{2v^\prime\sin\theta}{g}$$

\(t_1, t_2\)を代入して$$\frac{L(e+1)}{ev^\prime\cos\theta}=\frac{2v^\prime\sin\theta}{g}$$

解いて$$v^\prime=\sqrt{\frac{gL(e+1)}{2e\sin\theta\cos\theta}}$$

[コメント] 非常に基本的な問題。衝突で\(y\)方向の運動は変化しないので、上がって落ちてくる時間は簡単に出せることに気付こう。

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