113番について、模範解答的には平均値の定理で不等式を作って挟み撃ちの原理で収束を示すのですが・・・

グラフを描いてみると数列{x_n}は単調増加(あるいは単調減少)で1に近づいていくことが目に見えると思います。上に有界な単調増加数列(この問でいうと、x_nは1より小さくて単調増加)は収束するという定理があります。高校の教科書には載ってないですが、極限の定義から曖昧な高校数学ですし、個人的にはこの定理は感覚的に当たり前として使っていいような気がするんですけどね。